记一些解法
化简方法
1.可分离变量
将相同变量及其微分放在同侧：$f(x)dx=g(y)dy$
解得 ∫ $f(x)dx= $∫ $g(y)dy$
2.可换元
形如$\frac {dx}{dy}=\phi(\frac xy)$
记$u=\frac xy$则$\phi(u)=u+y\frac{du}{dy}$，即$\frac{du}{[\phi(u)-u]}=\frac{dy}{y}$
积分后用$\frac xy$代替$u$
3.可降阶
对$y’’=f(x,y’)$和$y’’=f(y,y’)$
令$y’=p$则$y’’$分别为$p’$和$p\frac{dp}{dy}$，代入可求得方程$y（x）$
一阶常系数线性微分方程
形如$y’+p(x)y=q(x)$,令$q(x)=0$求其通解,易知$y=Ce^{-∫p(x)dx}$
因未知函数与已知函数乘积可表示所有函数
设$y=U(x)e^{-∫p(x)dx}$,解得$U(x)=$∫$q(x)e^{∫p(x)dx}dx+C$
即$y=Ce^{-∫p(x)dx}+e^{-∫p(x)dx}$∫$q(x)e^{∫p(x)dx}dx$
二阶常系数线性微分方程
形如:$y’’+py’+qy=0$,特征方程为$r^2+pr+q=0$
| 特征方程两根$r_1$$r_2$ | 微分方程通解 |
|---|---|
| 两个不相等实根$r_1$$r_2$ | $y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2x}$ |
| 两个相等实根$r_1$$r_2$ | $y=(C_1+C_2 x)e^{r_1 x}$ [1] |
| 一对共轭复根$r_1=\alpha+\beta i$，$r_2=\alpha-\beta i$ | $y=e^{\alpha x}(C_1 cos \beta x+C_2 sin\beta x)$ [2] |
[1]简单理解$x$:两个解线性无关
[2]欧拉公式$ e^{ix}= cos x+i sin x$，$e^{-ix}= cos x-i sin x$